高等代数问题嗯.设W1,W2是欧式空间的两个子空间,证明W1+W2的正交补=W1的正交补∩W2的正交补,(W1∩W2）的正交补=W1的正交补+W2的正交补

Question

高等代数问题嗯.
设W1,W2是欧式空间的两个子空间,证明W1+W2的正交补=W1的正交补∩W2的正交补,
(W1∩W2）的正交补=W1的正交补+W2的正交补

Answer 1

第一题：对任意X属于（W1+W2）的正交补 则X与（W1+W2）的任意元素正交,显然X与W1的任意元素正交；X与W2的任意元素正交 则 （W1+W2）的正交补包含于W1的正交补∩W2的正交补；反之,对任意X属于W1的正交补∩W2的正交补 则X与W1的任意元素正交且X与W2的任意元素正交,对任意元素Y属于（W1+W2） 有Y=Y1+Y2(Y1属于W1,Y2属于W2)
,(X,Y)=(X,Y1)+(X,Y2)=0+0 即X与（W1+W2）的任意元素正交,则W1的正交补∩W2的正交补包含于W1+W2的正交补；
第二题 按定义 也是差不多 这么做吧