综合与探究如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=-x2+3x+4．抛物线W于x后交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．它的对称轴与x轴交于点D．（1）求A、B、C三点坐

Question

综合与探究
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=-x²+3x+4．抛物线W于x后交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．它的对称轴与x轴交于点D．
（1）求A、B、C三点坐标及抛物线W的对称轴；
（2）如图2，将抛物线W沿x轴向右平移m个单位得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与x轴交于点E，与线段BC交于点F，过点F作x轴的平行线，交抛物线W的对称轴于点P．
①求当m为何值时，四边形EDPF的面积最大？最大面积为多少？
②以点E为中心，将四边形EDPF绕点E顺时针旋转90°，得到四边形EGHB．点D的对应点为G（如图3），求当m的值为多少时，点G恰好落在抛物线W上．

Answer 1

（1）如图1，
把y=0代入y=-x²+3x+4，得
-x²+3x+4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4．
∴A，B两点坐标分别为（-1，0），（4，0）；
把x=0代入y=-x²+3x+4，得y=4，
∴C点坐标为（0，4）．
∵y=-x²+3x+4=-（x-(3)/(2)）²+(25)/(4)，
∴抛物线W的对称轴为直线x=(3)/(2)；
（2）①，
∵B，C两点坐标分别为（4，0），（0，4），
∴OC=OB，∠OCB=∠OBC=45°，
又∵FE∥OC，
∴∠EFB=∠OCB=∠OBC=45°，
∴EF=BE．
∵四边形DEFP为矩形，
∴DE=PF=m．
∴EF=BE=4-(3)/(2)-m=(5)/(2)-m，
设四边形DEFP的面积为S，
则S=DE•EF=m（(5)/(2)-m）=-m²+(5)/(2)m=-（m-(5)/(4)）²+(25)/(16)
∴当m=(5)/(4)时，四边形DEFP的面积最大，最大面积为(25)/(16)；
②如图3，
∵四边形EDPF为矩形，
∴DE=PF=m．
∴点E横坐标为(3)/(2)+m，
又∵四边形EGHB是由四边形EDPF旋转得到的，
∴EG=DE=m，
∴点G坐标为（(3)/(2)+m，m）．
把x=(3)/(2)+m，y=m代入抛物线W的解析式，得
-（(3)/(2)+m）²+3（(3)/(2)+m）+4=m．
解得：m₁=(-1+√(26))/(2)，m₂=(-1-√(26))/(2)（不合题意，舍去），
∴当m的值为(-1+√(26))/(2)时，点G恰好在抛物线W上．