如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．（1）如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°．求证：DB=DC．（2）如图3，四边形ABCD中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=2，则AB-AC=？

Question

如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
（1）如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°．求证：DB=DC．
（2）如图3，四边形ABCD中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=2，则AB-AC=？

Answer 1

（1）证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，

∠F=∠DEB

∠FCD=∠B

DF=DE

，
∴△DFC≌△DEB，
∴DC=DB．
（2） 如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，

∠F=∠DEB

∠FCD=∠B

DC=DB

，
∴△DFC≌△DEB，
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，

AD=AD

DE=DF

，
∴△ADF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴AB-AC=（AE+BE）-（AF-CF）=2BE，
在Rt△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=60°，BD=2，
∴BE=1，
∴AB-AC=2．