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已知函数f(x)=x³－ax²+bx+c.若函数f(x)可以在x=－1和x=3时取得极值.(1)求a,b的值.(2)若f(x)
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已知函数f(x)=x³－ax²+bx+c.若函数f(x)可以在x=－1和x=3时取得极值.(1)求a,b的值.(2)若f(x)
▼优质解答
答案和解析
（1）求导函数,可得f′（x）=3x2+2a x+b．
由题设,∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与时,都取得极值．
∴x=1,x=﹣为f′（x）=0的解．
∴﹣a=1﹣,=1×（﹣）．
解得a=﹣,b=﹣2
此时,f′（x）=3x2﹣x﹣2=（x﹣1）（x+）,
x=1与都是极值点．
（2）（3）由（1）得,f′（x）=（x﹣1）（3x+2）,f （x）=x3﹣x2﹣2 x+c,
f （x）在[﹣1,﹣）及（1,2]上递增,在（﹣,1）递减．
而f （﹣）=﹣﹣++c=c+,f （2）=8﹣2﹣4+c=c+2．
∴f （x）在[﹣1,2]上的最大值为c+2．
∴
∴
∴或
∴0＜c＜1或c＜﹣3
由题设,∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与时,都取得极值．
∴x=1,x=﹣为f′（x）=0的解．
∴﹣a=1﹣,=1×（﹣）．
解得a=﹣,b=﹣2
此时,f′（x）=3x2﹣x﹣2=（x﹣1）（x+）,
x=1与都是极值点．
（2）（3）由（1）得,f′（x）=（x﹣1）（3x+2）,f （x）=x3﹣x2﹣2 x+c,
f （x）在[﹣1,﹣）及（1,2]上递增,在（﹣,1）递减．
而f （﹣）=﹣﹣++c=c+,f （2）=8﹣2﹣4+c=c+2．
∴f （x）在[﹣1,2]上的最大值为c+2．
∴
∴
∴或
∴0＜c＜1或c＜﹣3
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