函数方程设定设定义域为R的函数f(x)=｛1/|x-1|x≠1,1x=1,若关于x的方程f²(x)+bf(x)+c=0有三个不同的实数根x1x2x3则(x1)²+(x2)²+(x3)²等于?

Question

函数方程
设定设定义域为R的函数f(x)=｛1/|x-1| x≠1,1 x=1,若关于x的方程f²(x)+bf(x)+c=0有三个不同的实数根x1 x2 x3则(x1)²+(x2)²+(x3)²等于?

Answer 1

考察函数 y = 1/|x-1| ,它的图像关于直线 x = 1 对称,且 y > 0 ,
再考察函数 f(x) = ｛1/|x-1| (x ≠ 1) ；1 (x = 1) ,它比上述函数多一个点（1,1）.
令 t = f(x) ,则方程化为 t^2+bt+c = 0 ,
方程 [f(x)]^2+bf(x)+c = 0 有三个不同实根,等价于关于 t 的方程 t^2+bt+c = 0 有二重根 t1=t2=1 ,
（因为 f(x) = 1 对应三个不同 x ）
由 1/|x-1| = 1 得 x1 = 2 ,x2 = 0 ,显然 x3 = 1 ,
所以 x1^2+x2^2+x3^2 = 0+1+4 = 5 .