如图,已知△ABC中高AD恰好平分边BC,∠B=30°,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点且OP=OC,下面的结论:①AC=AB;②∠APO+∠DCO=30°;③△OPC是等边三角形;④AC=AO+AP.其中正确的为(
如图,已知△ABC中高AD恰好平分边BC,∠B=30°,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点且OP=OC,下面的结论:
①AC=AB;②∠APO+∠DCO=30°;③△OPC是等边三角形;④AC=AO+AP.
其中正确的为( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④

∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD,
在∠ABD与△ACD中,
|
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴AB=AC.
故①正确;
如图1,连接OB,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,∠BAD=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴OB=OC,∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC,
∴OB=OC=OP,
∴∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°;
故②正确;
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°,
∴∠APC+∠DCP=150°,
∵∠APO+∠DCO=30°,
∴∠OPC+∠OCP=120°,
∴∠POC=180°-(∠OPC+∠OCP)=60°,
∵OP=OC,
∴△OPC是等边三角形;
故③正确;
如图2,在AC上截取AE=PA

∵∠PAE=180°-∠BAC=60°,
∴△APE是等边三角形,
∴∠PEA=∠APE=60°,PE=PA,
∴∠APO+∠OPE=60°,
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°,
∴∠APO=∠CPE,
∵OP=CP,
在△OPA和△CPE中,

|
∴△OPA≌△CPE(SAS),
∴AO=CE,
∴AC=AE+CE=AO+AP;
故④正确.
故选D.
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