（2012•乌鲁木齐）如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA．（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB=6，BC=3，求阴影部分

Question

（2012•乌鲁木齐）如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB=6，BC=3，求阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O直径，C为圆周上的一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，又∠MCA=∠CBA，
∴∠MCA=∠OCB，
∴∠ACO+∠MCA=90°，
即OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴直线MN是⊙O的切线；

（2）连接OE，CE，
由（1）OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，
在Rt△ACB中，cos∠B=(BC)/(AB)=(1)/(2)，
∴∠B=60°，
∴OC=OB=BC=3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵OC∥AE，
∴∠EAO=∠COB=60°，
∵OE=OA，
∴△OEA是等边三角形，
∴OC=AE，四边形AOCE是平行四边形，故S_△EAC=S_△EOC，
于是S_阴影=S_△ADC-S_扇形EOC，
在Rt△ACB中，BC=3，AB=6，∴AC=3√(3)，
在Rt_△ADC中，AC=3√(3)，∠DCA=∠B=60°，∴DC=(3)/(2)√(3)，AD=(9)/(2)，
∴S_△ADC=(1)/(2)AD•DC=(27√(3))/(8)，而S_扇形EOC=(60π×32)/(360)=(3π)/(2)，
于是S_阴=S_△ADC-S_扇形EOC=(27√(3)−12π)/(8)．