如图，一台机器的大轮O1和小轮O2外切于点C，且两轮分别和板面相切于A，B两点．若O1的半径为3cm，O2的半径为1cm，求阴影部分面积．

Question

如图，一台机器的大轮 O₁和小轮 O₂外切于点C，且两轮分别和板面相切于A，B两点．若 O₁的半径为3cm， O₂的半径为1cm，求阴影部分面积．

Answer 1

如图，连接O₁O₂，过点O₂作O₂D⊥AO；
∵ O₁和 O₂外切于点C，
且两轮分别和板面相切于A，B两点，
∴O₁O₂=3+1=4，O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，
∴四边形ABO₂D为矩形，
∴AD=O₂B=1，O₁D=3-1=2，
由勾股定理得：O2D=√(42-22)=2√(3)；
∴cos∠O₂O₁D=(O1D)/(O1O2)=(2)/(4)=(1)/(2)，
∴∠O₂O₁D=60°，∠O₁O₂B=120°，
∴λ=S扇形O1AC+S扇形O2BC
=(60π•32)/(360)+(120π•12)/(360)=(11π)/(6)，
∴S梯形ABO2O1=(1)/(2)(1+3)×2√(3)=4√(3)，
∴S_阴影=4√(3)-(11π)/(6)（cm²）．