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如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O为矩形ABCD的中心,以D为圆心1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP、OP,则△AOP面积的最大值为()A.4B.215C.358D.174

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如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O为矩形ABCD的中心,以D为圆心1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP、OP,则△AOP面积的最大值为(  )

A.4
B.
21
5

C.
35
8

D.
17
4
▼优质解答
答案和解析
当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时,△AOP面积的最大,如图,
∵P是⊙D的切线,
∴DP垂直与切线,
延长PD交AC于M,则DM⊥AC,
∵在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,
∴AC=
AB2+BC2
=5,
∴OA=
5
2

∵∠AMD=∠ADC=90°,∠DAM=∠CAD,
∴△ADM∽△ACD,
DM
CD
=
AD
AC

∵AD=4,CD=3,AC=5,
∴DM=
12
5

∴PM=PD+DM=1+
12
5
=
17
5

∴△AOP的最大面积=
1
2
OA•PM=
1
2
×
5
2
×
17
5
=
17
4

故选D.