已知关于x的方程169x2-bx+60=0的两根为sinθ，cosθ，θ∈(π4，3π4)．（1）求实数b的值；（2）求sinθ1-cosθ+1+cosθsinθ的值．

Question

已知关于x的方程169x²-bx+60=0的两根为sinθ，cosθ，θ∈((π)/(4) ，  (3π)/(4))．
（1）求实数b的值；
（2）求(sinθ)/(1-cosθ)+(1+cosθ)/(sinθ)的值．

Answer 1

（1）∵169x²-bx+60=0的两根为sinθ、cosθ，
∴sinθ+cosθ=(b)/(169)，sinθcosθ=(60)/(169)>0，
∵θ∈((π)/(4) ，  (3π)/(4))，
∴θ+(π)/(4)∈（(π)/(2)，π），即sinθ+cosθ=√(2)sin（θ+(π)/(4)）>0，
∴（sinθ+cosθ）²=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+2×(60)/(169)=（(b)/(169)）²，
解得：b=±221（负值舍去），则b=221；
（2）∵（sinθ-cosθ）²=sin²θ+cos²θ-2sinθcosθ=1-2×(60)/(169)=(49)/(169)，
∴sinθ-cosθ=(7)/(13)，
∵sinθ+cosθ=(17)/(13)，
∴sinθ=(12)/(13)，cosθ=(5)/(13)，
则原式=(sin2θ+1-cos2θ)/(sinθ(1-cosθ))=(2sinθ)/(1-cosθ)=3．