麻烦做一道关于矢量的数学题,题如下,答案已给出,过平面x+28y-2z+17=0和平面5x+8y-z+1=0的交线,做球面x^2+y^2+z^2=1的切平面,求切平面方程.387x-164y-24z-421=0和3x-4y-5=0

Question

麻烦做一道关于矢量的数学题,题如下,答案已给出,
过平面x+28y-2z+17=0 和平面5x+8y-z+1=0的交线,做球面x^2+y^2+z^2=1的切平面,求切平面方程.
387x-164y-24z-421=0和3x-4y-5=0

Answer 1

1首先 用点到平面的距离公式 可以判断 以上两面不是切平面；
2过交线的平面束方程为 x+28y-2z+17+k*（5x+8y-z+1）=0；即（1+5k)x+(28+8k)y-(2+k)z+17+k=0---------【1】;
3设切点的坐标为（x1,y1,z1）；对球面方程做x,y,z的偏导可知 x1*x+y1*y+z1*z+D=0为切平面；
假设【1】也是切平面 则 推出 (1+5k)/x1=（28+8k）/y1= -(2+k)/z1=t;
由（x1,y1,z1）在球面上 推出 (1+5k)^2/t^2+（28+8k)^2/t^2+ (2+k)^2/t^2=1--【2】；
由（x1,y1,z1）在切面上 推出 （1+5k)x1+(28+8k)y1-(2+k）z1+17+k=0 ；
由上面三个式子得到了17+k=-t；
代入【2】 ；
得到了关于k的一元二次方程 化简后为500+428k+89k^2=0
解得k=-2或-250/89;
把k 代入 【1】 就得到了所要求切平面的方程