设f′（x）=arcsin（x-1）2，f（0）=0，计算∫10f(x)dx．

Question

设f′（x）=arcsin（x-1）²，f（0）=0，计算

∫

1  0

f(x)dx．

Answer 1

因为f（0）=0，所以
f（x）=

∫

x 0

f′(t)dt，
从而，
原积分=

∫

1 0

dx

∫

x 0

f′(t)dt=

∬

D

f′(t)dxdt，
其中D={（x，t）|0≤t≤x≤1}．
交换积分次序可得，
原积分=

∫

1 0

f′(t)dt

∫

1 t

dx
=

∫

1 0

arcsin(t−1)2•(1−t)dt 
=−(1)/(2)

∫

1 0

arcsin(t−1)2d((t−1)2)．
令u=（t-1）²，并利用分部积分法计算可得，
原积分=−(1)/(2)

∫

0 1

arcsinudu
=(1)/(2)

∫

1 0

arcsinudu
=(1)/(2)[uarcsinu

|

1 0

−

∫

1 0

(u)/(√(1−u2))du]
=(1)/(2)[(π)/(2)+√(1−u2)

|

1

0

作业帮用户 2016-12-12

问题解析

注意到f（x）=

∫

x 0

f′(t)dt，故原积分为f′（t）的一个二重积分，交换积分顺序即可计算其积分值．

名师点评

本题考点：

有界闭区域上连续函数的性质介值定理；牛顿—莱布尼兹公式；定积分的换元积分法；定积分的分部积分法；二重积分的计算．

考点点评：

本题考查了牛顿-莱布尼兹公式以及应用、二重积分的交换积分次序、定积分的换元积分法以及定积分的分部积分法，具有较强的综合性与灵活性，难度系数较大，比较关键的一步是将原积分写成一个二重积分的形式．

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