已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f-1（x）．设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f-1（x）图象上不同的三点．（1）如果存在正实数x，使y1、y2、y3成等差数列，试用x表示实数a；（2）在（

Question

^x-1₁₂₃^-1
₁₂₃

Answer 1

（1）f^-1-1（x）=log₂2（x-a），（x＞a），y₁1=log₂2a，y₂2=log₂2（x-a），
y₃3=log₂22=1由题意，2log₂2（x-a）=log₂2x+1(x−a)2＝2x，a＝x−√(2x)，x∈(0，2)∪(2，+∞)
（2）由题意：关于x的方程（x-a）²=2x即x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上有唯一解．
1⁰，当判别式△=0时，a＝−(1)/(2)，这时方程有唯一解x＝(1)/(2)满足条件；
2⁰，当判别式△＞0时，方程的一个根大于a，
另一根小于a（不可能出现一根等于a的情形），
记g（x）=x²-2（a+1）x+a²，只需g（a）＜0即可，得a＞0．
解得：a＞0或a＝−(1)/(2) (x−a)2＝2x，a＝x−√(2x)，x∈(0，2)∪(2，+∞)
（2）由题意：关于x的方程（x-a）²=2x即x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上有唯一解．
1⁰，当判别式△=0时，a＝−(1)/(2)，这时方程有唯一解x＝(1)/(2)满足条件；
2⁰，当判别式△＞0时，方程的一个根大于a，
另一根小于a（不可能出现一根等于a的情形），
记g（x）=x²-2（a+1）x+a²，只需g（a）＜0即可，得a＞0．
解得：a＞0或a＝−(1)/(2) 2＝2x，a＝x−√(2x)

2x

2x2x，x∈(0，2)∪(2，+∞)
（2）由题意：关于x的方程（x-a）²2=2x即x²2-2（a+1）x+a²2=0在（a，+∞）上有唯一解．
1⁰0，当判别式△=0时，a＝−(1)/(2)，这时方程有唯一解x＝(1)/(2)满足条件；
2⁰，当判别式△＞0时，方程的一个根大于a，
另一根小于a（不可能出现一根等于a的情形），
记g（x）=x²-2（a+1）x+a²，只需g（a）＜0即可，得a＞0．
解得：a＞0或a＝−(1)/(2) a＝−(1)/(2)111222，这时方程有唯一解x＝(1)/(2)满足条件；
2⁰，当判别式△＞0时，方程的一个根大于a，
另一根小于a（不可能出现一根等于a的情形），
记g（x）=x²-2（a+1）x+a²，只需g（a）＜0即可，得a＞0．
解得：a＞0或a＝−(1)/(2) x＝(1)/(2)111222满足条件；
2⁰0，当判别式△＞0时，方程的一个根大于a，
另一根小于a（不可能出现一根等于a的情形），
记g（x）=x²2-2（a+1）x+a²2，只需g（a）＜0即可，得a＞0．
解得：a＞0或a＝−(1)/(2) a＞0或a＝−(1)/(2)111222