已知α1＝121，α2＝1a+2−3a+1，α3＝−1−b−2a+2b及β＝13−2．问a，b取何值时（Ⅰ）β可由α1，α2，α3唯一线性表示；（Ⅱ）β可由α1，α2，α3线性表示，但表示方式不唯一；（Ⅲ）β不能由α1，

Question

已知α1＝

1

2

1

，α2＝

1

a+2

−3a+1

，α3＝

−1

−b−2

a+2b

及β＝

1

3

−2

．问a，b取何值时
（Ⅰ）β可由α₁，α₂，α₃唯一线性表示；
（Ⅱ）β可由α₁，α₂，α₃线性表示，但表示方式不唯一；
（Ⅲ）β不能由α₁，α₂，α₃线性表示．
在可线性表示的情形下，求出相应的表示式．

Answer 1

由题意，设x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=β…①
则增广矩阵

.

A

＝

1	1	−1	1
2	a+2	−b−2	3
1	−3a+1	a+2b	−2

1	1	−1	1
0	a	−b	1
0	−3a	a+2b+1	−3

作业帮用户 2017-10-14

问题解析

将β可由α₁，α₂，α₃线性表示的情况，转化为对应的非齐次线性方程组x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=β解的情况，从而对矩阵（α₁，α₂，α₃，β）做初等行变换，化成行阶梯形矩阵，再化成行最简形矩阵，来求解．

名师点评

本题考点：

线性表示的充要条件．

考点点评：

此题考查向量由向量组线性表示的求解，一般是要转化为非齐次线性方程组解的情况，也就需要对增广矩阵做初等行变换来求解．

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