已知[(X倍的根号下X)+]的n次方展开式的前三项系数合为129,已知[（X倍的根号下X）＋]的n次方展开式的前三项系数合为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?若没有,说明理由；若有,求之.

Question

已知[(X倍的根号下X)+]的n次方展开式的前三项系数合为129,
已知[（X倍的根号下X）＋]的n次方展开式的前三项系数合为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?若没有,说明理由；若有,求之.

Answer 1

(x√x+2/³√x)^n
=(x^3/2+2x^1/3)^n
第一项：C(n,0)(x^3/2)^n=x^3n/2
第二项：C(n,1)(x^3/2)^(n-1)(2x^1/3)=2nx^(3n-3)/2+1/3)=2nx^(9n-7)/6
第三项：C(n,2)(x^3/2)^(n-2)(2x^1/3)²=4n(n-1)/2x^((3n-6)/2+2/3)=(2n²-2n)x^(9n-14)/6
前三项系数合为129
1+2n+2n²-2n=129
2n²=128
n²=64
n=±8（负号舍去）
(x^3/2+2x^1/3)^8
Tk=C(8,k)(x^3/2)^(8-k)(2x^1/3)^k
=C(8,k)*2^k(x^((3*8-3k)/2+k/3)
=2^kC(8,k)x^(72-7k)/6
常数项：(72-7k)/6=0
72-7k=0
k=72/7为非正整数且大于8,所以无常数项.
一次项：(72-7k)/6=1
72-7k=6
7k=66
k=66/7为非正整数且大于8,所以无一次项.