证明收敛arctan(x)/(1+x^2)在0到正无穷积分如何证明这个积分是否收敛？

Question

证明收敛arctan(x)/(1+x^2)在0到正无穷积分
如何证明这个积分是否收敛？

Answer 1

用比较判别法的极限形式,
设f(x)=arctanx/(1+x^2)
g(x)=1/(1+x^2)
因为∫(0->+∞) g(x)dx=arctanx |(0->+∞)=π/2
所以∫(0->+∞) g(x)dx收敛
因为limf(x)/g(x)=lim arctanx= π/2
所以∫(0->+∞) f(x)dx 与∫(0->+∞) g(x)dx敛散性一致.
所以∫(0->+∞) f(x)dx是收敛的.