如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；（2）在（1）的

Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；
（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；
（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴(AB)/(AD)=(AE)/(AF)，
∴(AB)/(AE)=(AD)/(AF)，∵∠BAD=∠EAF，
∴△AEF∽△ABD．

（2） 如图连接AG．

∵△AEF∽△ABD，
∴∠ABG=∠AEG，
∴A、B、E、G四点共圆，
∴∠ABE+∠AGE=180°，
∵∠ABE=90°，
∴∠AGE=90°，
∴∠AGM=∠MDF，
∴∠AMG=∠FMD，
∴∠MAG=∠EFC，
∴y=tan∠MAG=tan∠EFC=(EC)/(CF)，
∵△ABE∽△ADF，
∴(AB)/(AD)=(BE)/(DF)，
∴DF=(4)/(3)x，
∴y=(4-x)/(3+(4)/(3)x)，
即y=(12-3x)/(9+4x)（0≤x≤4）．

（3） ①如图2中，当点E在线段CB上时，

∵△AGM∽ADF，
∴tan∠MAG=(GM)/(AG)=(DF)/(AD)，
∴(12-3x)/(9+4x)=((4)/(3)x)/(4)，
解得x=(3)/(2)．

②如图3中，当点E在CB的延长线上时，

由△MAG∽△AFD∽△EFC，
∴(AD)/(EC)=(DF)/(FC)，
∴(4)/(x+4)=((4)/(3)x)/(3-(4)/(3)x)，
解得x=1，
∴BE的长为(3)/(2)或1．