1991减去它的2分之1,再减去余下的3分之1,...1991减去它的2分之1,再减去余下的3分之1,再减去余下的4分之1...依此类推,一直减去余下的1991分之1,那么最后剩下的数是多少?

Question

1991减去它的2分之1,再减去余下的3分之1,...
1991减去它的2分之1,再减去余下的3分之1,再减去余下的4分之1...依此类推,一直减去余下的1991分之1,那么最后剩下的数是多少?

Answer 1

=1991-1991*1/2-1991*(1-1/2)*1/3-1991*(1-1/2)*(1-1/3)*1/4-...
-1991*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/4)...1/1991
=1991*[1-1/2-(1-1/2)1/3-(1-1/2)(1-1/3)1/4-.-(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/4)...1/1991]
分析表达式最后一项可知
化成分数形式,最后消除得到1/1990*1/1991
所以可以得知里面的形式肯定为：1-1/1*1/2-1/2*1/3-1/3*1/4-.1/1990*1/1991)
再化为差的形式.
因为：1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
所以,
1-1/1*1/2-1/2*1/3-1/3*1/4-.1/1990*1/1991)
=1-(1-1/2)-(1/2-1/3)-(1/3-1/4)-...-(1/1990-1/1991)
=1/1991
所以原式
=1991*1/1991
=1