如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，D、E两点分别是线段AB、AC的中点，现将△ABC沿DE折成直二面角A-DE-B．（Ⅰ）求证：面ADC⊥面ABE；（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正切值．

Question

如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=√(2)，BC=1，D、E两点分别是线段AB、AC的中点，现将△ABC沿DE折成直二面角A-DE-B．

（Ⅰ）求证：面ADC⊥面ABE；
（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）由∠B=90°，D、E两点分别是线段AB、AC的中点，
得DE∥BC，DE⊥AD，DE⊥BD，
∴∠ADB为二面角A-DE-B平面角，∠ADB＝(π)/(2)．
∴AD⊥面BCD，又∵BE⊂面BCD，∴AD⊥BE，
又BD＝(√(2))/(2)，DE＝(1)/(2)，BC＝1，即(BD)/(DE)＝(BC)/(BD)，
∴△BDE～△DBC，∴∠EBD=∠DCB，
∴BE⊥DC，∴BE⊥面ADC，
又BE⊂面ABE，∴面ABE⊥面ADC．…（7分）
（Ⅱ）连结BE交CD于H，连结AH，
过点D作DO⊥AH于O．
∵AD⊥BE，BE⊥DH，
∴BE⊥面ADHDO⊂面ADH，∴BE⊥DO，
又DO⊥AH，∴DO⊥面ABE，
∴∠DAO为AD与平面ABE所成角．
Rt△BDE中，BD＝(√(2))/(2)，DE＝(1)/(2)∴DH＝(BD•DE)/(BE)＝(√(6))/(6)，
Rt△ADH中，tan∠DAO＝(DH)/(DA)＝(√(6))/(6)×√(2)＝(√(3))/(3)．
∴直线AD与平面ABE