已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°，把Rt△ABC绕点C旋转．（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线时，若BC=1322，BE=5，求CD的长；（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂

Question

已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°，把Rt△ABC绕点C旋转．

（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线时，若BC=(13√(2))/(2)，BE=5，求CD的长；
（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG．

Answer 1

（1）如图1，∵△ADC是由△BEC绕点C旋转得到的，
∴AD=BE=5，∠ADC=∠BEC，
∵在等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE中，BC=AC=(13√(2))/(2)，∠EDC=∠DEC=45°，
∴AB=13，∠ADC=∠BEC=135°，
∴∠AEB=90°，
∴AE=√(AB2-BE2)=12，
∴DE=7，
∴等腰Rt△CDE中，CD=(√(2))/(2)DE=(7√(2))/(2)；

（2）如图2，过点A作AH∥CE，交CG的延长线于H，连接HE，则∠CAH+∠ACE=180°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCD+∠ACE=180°，
∴∠CAE=∠BCD，
∵CF⊥BD，∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ACG+∠BCF=90°，
∴∠CBF=∠ACG，
在△BCD和△CAH中，

∠CBF=∠ACG

CB=AC

∠BCD=∠CAH

，
∴△BCD≌△CAH（ASA），
∴AH=CD=CE，BD=CH，
又∵AH∥CE，
∴四边形ACEH是平行四边形，
∴CH=2CG，
∴BD=2CG．