如图，已知∠MON=90°，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连结OC．（1）求OC的最大值；（2）求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在∠AOB

Question

如图，已知∠MON=90°，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连结OC．
（1）求OC的最大值；
（2）求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）若OP=4√(2)，求OA的长．

Answer 1

（1）取AB的中点Q，连接OQ，CQ，当O，C，Q三点共线时，
OC有最大值，最大值为：OQ+QC=(1)/(2)×6+√(62+32)=3+3√(5)，

（2）作PE⊥OM、PF⊥ON垂足分别为E、F，
∠PEA=∠PFB=90°，
∵ABCD是正方形，
∴PA=PB，
∵∠AOB=∠ABC=90°，
∴∠CBN=∠OAB，∠POC=∠PAB=45°，
∴CNB+∠POC=∠PAB+∠OAB，
即∠PAE=∠PBF，
∴△PAE≌△PBF，
∴PE=PF，
即P在角AOB的平分线上；
（3）四边形OEPF是正方形，
OP=4√(2)，OE=PE=(√(2))/(2)OP=4，AB=6，PA=3√(2)
AE=√(PA2−PE2)=√(2)，
∴OA=OE+AE=4+√(2)或OA=4-√(2)．