已知如图三角形ABC中,∠A=64°若三角形ABC的两个外角平分线BP

Question

已知如图三角形ABC中,∠A=64°若三角形ABC的两个外角平分线BP

Answer 1

(1)若三角形ABC的两个外角平分线BP,CP交于点p,求∠P的度数.
(2)如果BP,CP分别是∠B,∠C两内角平分线,求∠P
(3)如果BP,CP中一个是内角平分线,另一个是外角平分线,求∠P
(1)
因为∠A = 64°,∠ABC + ∠ACB ＝ 180° －64° ＝ 116°
∠EBC ＝180° －∠ABC ∠BCF ＝180° －∠BCF
所以∠EBC +∠BCF ＝360° －（∠ABC + ∠BCF）
又BP、CP是∠EBC和∠BCF的平分线,
所以 ∠PBC + ∠PCB ＝（1/2）（∠EBC + ∠BCB）
=(1/2) * [ 360° - (∠ABC + ∠BCF)
=180° - (1/2)(∠ABC + ∠BCF)
= 180° - (1/2) * 116° = 122°
所以 ∠P ＝180°－（∠PBC －∠PCB） ＝ 180° －122° ＝58°
（2）
若BP,CP分别是∠B,∠C两内角平分线,则有：
∠1 ＝(1/2)∠ABC,∠2 = (1/2)∠ACB
故在△BPC中,
∠P ＝ 180° －（∠1 + ∠2） ＝ 180° －[ (1/2)∠ABC + (1/2)∠ACB]
= 180° - (1/2)(∠ABC + ∠ACB) = 180° - (1/2)*(180° -∠A)
= 180° - 90° + (1/2) * 64° = 122°
（3）
若BP是△ABC外角∠EBC平分线的延长线,CP是∠ACB的平分线,则
∠1 ＝（1/2)∠EBC,∠3 = (1/2)∠ACB
图中∠1 ＝∠4（对顶角）
∠PBC ＝ ∠2 + ∠4 ＝ ∠2 + ∠1
又因为 ∠2 + ∠EBC ＝ 180°,故有∠2 +2∠1 ＝180°,得∠1 ＝90° －(1/2)∠2,于是
∠4 ＝ 90° －(1/2)∠2
即有∠PBC＝∠2 + ∠4 ＝∠2 + 90°－（1/2)∠2 = 90° + (1/2)∠2
在△PBC中,∠P＝180°－（∠PBC +∠3）＝180°－[90°+（1/2)∠2 +∠3]
= 90° -(1/2)*(∠2 +2∠3) = 90° - (1/2)*(∠2 + ∠ACB)
= 90° - (1/2)* ( 180° - ∠A)
= (1/2)∠A = (1/2)*64° = 32°