如图所示，倾角θ=37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量不计的光滑定滑轮D，质量均为m=1kg的物体A和B用一劲度系数k=240N/m的轻弹簧连接，物体B

Question

如图所示，倾角 θ=37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量不计的光滑定滑轮 D，质量均为m=1kg 的物体A和B用一劲度系数k=240N/m 的轻弹簧连接，物体 B 被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板 P 挡住．用一不可伸长的轻绳使物体 A 跨过定滑轮与质量为 M 的小环 C 连接，小环 C 穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环 C 位 于 Q 处，绳与细杆的夹角 α=53°，且物体 B 对挡板 P 的压力恰好为零．图中 SD 水平且长度 为 d=0.2m，位置 R 与位置 Q 关于位置 S 对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行．现 让环 C 从位置 R 由静止释放，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取 10m/s²．
求：

（1）小环 C 的质量 M；
（2）小环 C 通过位置 S 时的动能 E_k及环从位置 R 运动到位置 S 的过程中轻绳对环做的功 W_T；
（3）小环 C 运动到位置 Q 的速率 v．

Answer 1

（1）先以AB组成的整体为研究对象，AB系统受到重力．支持力和绳子的拉力处于平衡状态，则绳子的拉力为：
T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N
以C为研究对象，则C受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态，如图，则：

T•cos53°=Mg
代入数据得：M=0.72kg
（2）由题意，开始时B恰好对挡板没有压力，所以B受到重力、支持力和弹簧的拉力，弹簧处于伸长状态；产生B沿斜面方向的受力：
F₁=mgsinθ=1×10×sin37°=6N
弹簧的伸长量：△x₁=(mgsinθ)/(k)=0.025m
当小环 C 通过位置 S 时A下降的距离为：xA=(d)/(sinα)-d=0.05m
此时弹簧的压缩量为：△x₂=x_A-△x₁=0.025m
由速度分解可知此时A的速度为零，所以小环C从R运动到S的过程中，初末态的弹性势能相等，对于小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒有：
Mgdcotα+mgx_Asinθ=E_k
代入数据解得：E_k=1.38J
环从位置 R 运动到位置 S 的过程中，由动能定理可知：W_T+Mgdcotα=E_k
代入数据解得：W_T=0.3J
（3）环从位置 R 运动到位置 Q 的过程中，对于小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒
 Mg•(2dcotα)=(1)/(2)Mv2+(1)/(2)m

v

2 A

     
对环在Q点的速度进行分解如下图，则：v_A=vcosα

两式联立可得：v=2m/s
答：（1）小环C的质量是0.72kg；
（2）小环C通过位置S时的动能E_k是1.38J，环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功是0.3J；
（3）小环C运动到位置Q的速率是2m/s