（2014•滨州）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．①当t

Question

（2014•滨州）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．
①当t为何值时，DP⊥AC？
②设S_△APQ+S_△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QPA=∠QDC，∠QAP=∠QCD，
∴△APQ∽△CDQ．

（2）①当DP⊥AC时，∠QCD+∠QDC=90°，
∵∠ADQ+∠QDC=90°，
∴∠DCA=∠ADP，
∵∠ADC=∠DAP=90°，
∴△ADC∽△PAD，
∴(AD)/(PA)=(DC)/(AD)，
∴(10)/(PA)=(20)/(10)，
解得 PA=5，
∴t=5．
②设△AQP的边AP上的高h，则△QDC的边DC上的高为（10-h）．
∵△APQ∽△CDQ，
∴(h)/(10-h)=(AP)/(DC)=(t)/(20)，
解得 h=(10t)/(20+t)，
∴10-h=(200)/(20+t)，
∴S_△APQ=(1)/(2)•AP•h=(5t2)/(20+t)，
S_△DCQ=(1)/(2)•DC•(10-h)=(2000)/(20+t)，
∴y=S_△APQ+S_△DCQ=(5t2)/(20+t)+(2000)/(20+t)=(5t2+2000)/(20+t)（0≤t≤20）．
探究：
t=0，y=100；
t=1，y≈95.48；
t=2，y≈91.82；
t=3，y≈88.91；
t=4，y≈86.67；
t=5，y=85；
t=6，y≈83.85；
t=7，y≈83.15；
t=8，y≈82.86；
t=9，y≈82.93；
t=10，y≈83.33；
t=11，y≈84.03；
t=12，y=85；
t=13，y≈86.21；
t=14，y≈87.65；
t=15，y≈89.29；
t=16，y≈91.11；
t=17，y≈93.11；
t=18，y≈95.26；
t=19，y≈97.56；
t=20，y=100；
观察数据知：
当0≤t≤8时，y随t的增大而减小；
当9≤t≤20时，y随t的增大而增大；
故y在第8秒到第9秒之间取得最小值．