已知函数f(x)＝kx+k(1−a2)(x≥0)x2+(a2−4a)x+(3−a)2(x＜0)，其中a∈R，若对任意的非零的实数x1，存在唯一的非零的实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，则k的最小值为

Question

已知函数f(x)＝

kx+k(1−a2)                      (x≥0)

x2+(a2−4a)x+(3−a)2       (x＜0)

，其中a∈R，若对任意的非零的实数x₁，存在唯一的非零的实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，则k的最小值为（　　）

A．−(1)/(15)
B．5
C．6
D．8

Answer 1

∵函数f(x)＝

kx+k(1−a2)                      (x≥0)

x2+(a2−4a)x+(3−a)2       (x＜0)

，其中a∈R，
∴x=0时，f（x）=k（1-a²），
又由对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
∴函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，
易知，k≤0时，结合图象可知，不符合题意，
∴k＞0，且（3-a）²=k（1-a²），即（k+1）a²-6a+9-k=0有实数解，
所以△=6²-4（k+1）（9-k）≥0，解得k＜0或k≥8，
又∵k＞0，
∴k的取值范围为[8，+∞），
故选D．