已知数列{an}满足a1=-3，且2an+1an+an+1+4an+3=0，记bn=1an+1．（1）求证：数列{bn+2}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an}的通项公式．

Question

已知数列{a_n}满足a₁=-3，且2a_n+1a_n+a_n+1+4a_n+3=0，记b_n=(1)/(an+1)．
（1）求证：数列{b_n+2}为等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）∵b_n=(1)/(an+1)，∴b_n+2=(1)/(an+1)+2=(1+2an+2)/(1+an)=(3+2an)/(1+an)．
则(bn+1+2)/(bn+2)＝((3+2an+1)/(1+an+1))/((3+2an)/(1+an))=((1+an)[1+2+2an+1])/((1+an+1)[1+2+2an])=(2an+1an+2an+1+3an+3)/(2an+1an+3an+1+2an+3)，
∵2a_n+1a_n+a_n+1+4a_n+3=0，
∴2a_n+1a_n+2a_n+1+3a_n+3=a_n+1-a_n，
2a_n+1a_n+3a_n+1+2a_n+3=2（a_n+1-a_n），
∴(bn+1+2)/(bn+2)=(2an+1an+2an+1+3an+3)/(2an+1an+3an+1+2an+3)=(an+1−an)/(2(an+1−an))=(1)/(2)，
故数列{b_n+2}为等比数列，公比q=

作业帮用户 2017-10-20

问题解析

（1）根据递推熟练，以及等比数列的定义即可证明数列{b_n+2}为等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）根据b_n=

(1)/(2)(1)/(an+1)，即可求数列{a_n}的通项公式．

名师点评

本题考点：

数列递推式．

考点点评：

本题主要考查等比数列的证明以及递推数列的应用，综合性较强，运算难度较大．

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