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已知数列{an}满足a1=-3,且2an+1an+an+1+4an+3=0,记bn=1an+1.(1)求证:数列{bn+2}为等比数列,并求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的通项公式.

题目详情
已知数列{an}满足a1=-3,且2an+1an+an+1+4an+3=0,记bn=
1
an+1

(1)求证:数列{bn+2}为等比数列,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的通项公式.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵bn=
1
an+1
,∴bn+2=
1
an+1
+2=
1+2an+2
1+an
=
3+2an
1+an

bn+1+2
bn+2
3+2an+1
1+an+1
3+2an
1+an
=
(1+an)[1+2+2an+1]
(1+an+1)[1+2+2an]
=
2an+1an+2an+1+3an+3
2an+1an+3an+1+2an+3

∵2an+1an+an+1+4an+3=0,
∴2an+1an+2an+1+3an+3=an+1-an
2an+1an+3an+1+2an+3=2(an+1-an),
bn+1+2
bn+2
=
2an+1an+2an+1+3an+3
2an+1an+3an+1+2an+3
=
an+1−an
2(an+1−an)
=
1
2

故数列{bn+2}为等比数列,公比q=
作业帮用户 2017-10-20
问题解析
(1)根据递推熟练,以及等比数列的定义即可证明数列{bn+2}为等比数列,并求数列{bn}的通项公式;
(2)根据bn=
1
2
1
an+1
,即可求数列{an}的通项公式.
名师点评
本题考点:
数列递推式.
考点点评:
本题主要考查等比数列的证明以及递推数列的应用,综合性较强,运算难度较大.
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