（2011•西城区二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，AB=10，CD=4，连接并延长BD到E，使DE=BD，作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．（1）求tan∠ABD的值；（2）求AF的长．

Question

（2011•西城区二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，AB=10，CD=4，连接并延长BD到E，使DE=BD，作
EF⊥AB，交BA的延长线于点F．
（1）求tan∠ABD的值；（2）求AF的长．

Answer 1

（1）作DM⊥AB于点M，CN⊥AB于点N．（如图）
∵AB∥DC，DM⊥AB，CN⊥AB，
∴∠DMN=∠CNM=∠MDC=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∵CD=4，
∴MN=CD=4，
∵在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，
∴∠DAB=∠CBA，DM=CN，
∴△ADM≌△BCN，
又∵AB=10，
∴AM=BN=(1)/(2)（AB-MN）=(1)/(2)×（10-4）=3，
∴MB=BN+MN=7．（2分）
∵在Rt△AMD中，∠AMD=90°，AD=5，AM=3，
∴DM=√(AD2−AM2)=4，
∴tan∠ABD=(DM)/(BM)=(4)/(7)．（3分）

（2）∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠F=∠DMN，
∴DM∥EF，
∴△BDM∽△BEF，
∵DE=BD，
∴(BM)/(BF)=(BD)/(BE)=(1)/(2)，
∴BF=2BM=14．（4分）
∴AF=BF-AB=14-10=4．（5分） (1)/(2)111222（AB-MN）=(1)/(2)×（10-4）=3，
∴MB=BN+MN=7．（2分）
∵在Rt△AMD中，∠AMD=90°，AD=5，AM=3，
∴DM=√(AD2−AM2)=4，
∴tan∠ABD=(DM)/(BM)=(4)/(7)．（3分）

（2）∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠F=∠DMN，
∴DM∥EF，
∴△BDM∽△BEF，
∵DE=BD，
∴(BM)/(BF)=(BD)/(BE)=(1)/(2)，
∴BF=2BM=14．（4分）
∴AF=BF-AB=14-10=4．（5分） (1)/(2)111222×（10-4）=3，
∴MB=BN+MN=7．（2分）
∵在Rt△AMD中，∠AMD=90°，AD=5，AM=3，
∴DM=√(AD2−AM2)=4，
∴tan∠ABD=(DM)/(BM)=(4)/(7)．（3分）

（2）∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠F=∠DMN，
∴DM∥EF，
∴△BDM∽△BEF，
∵DE=BD，
∴(BM)/(BF)=(BD)/(BE)=(1)/(2)，
∴BF=2BM=14．（4分）
∴AF=BF-AB=14-10=4．（5分） √(AD2−AM2)

AD2−AM2

AD2−AM2AD2−AM22−AM22=4，
∴tan∠ABD=(DM)/(BM)=(4)/(7)．（3分）

（2）∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠F=∠DMN，
∴DM∥EF，
∴△BDM∽△BEF，
∵DE=BD，
∴(BM)/(BF)=(BD)/(BE)=(1)/(2)，
∴BF=2BM=14．（4分）
∴AF=BF-AB=14-10=4．（5分） (DM)/(BM)DMDMDMBMBMBM=(4)/(7)．（3分）

（2）∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠F=∠DMN，
∴DM∥EF，
∴△BDM∽△BEF，
∵DE=BD，
∴(BM)/(BF)=(BD)/(BE)=(1)/(2)，
∴BF=2BM=14．（4分）
∴AF=BF-AB=14-10=4．（5分） (4)/(7)444777．（3分）

（2）∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠F=∠DMN，
∴DM∥EF，
∴△BDM∽△BEF，
∵DE=BD，
∴(BM)/(BF)=(BD)/(BE)=(1)/(2)，
∴BF=2BM=14．（4分）
∴AF=BF-AB=14-10=4．（5分） (BM)/(BF)BMBMBMBFBFBF=(BD)/(BE)=(1)/(2)，
∴BF=2BM=14．（4分）
∴AF=BF-AB=14-10=4．（5分） (BD)/(BE)BDBDBDBEBEBE=(1)/(2)，
∴BF=2BM=14．（4分）
∴AF=BF-AB=14-10=4．（5分） (1)/(2)111222，
∴BF=2BM=14．（4分）
∴AF=BF-AB=14-10=4．（5分）