1.三角形ABC三边a.b.c满足b+c=8,bc=a2-12a+52,试确定ABC的形状.2.已知a是方程x2-2008x+1=0的一个根,试求a2-2007a+2008÷(a2+1)的值.

Question

1.三角形ABC三边a.b.c满足b+c=8,bc=a2-12a+52,试确定ABC的形状.
2.已知a是方程x2-2008x+1=0的一个根,试求a2-2007a+2008÷(a2+1)的值.

Answer 1

1.用方程的思想方法看,已知两个等式,三个未知数两个方程,必在特殊情况下才有定解,∵b＋c＝8,∴b＝8－c,
代入另一方程中：
c（8－c）＝a2－12a＋52■（a－6）2＋（c－4）2＝0,∴a＝6,c＝4,b＝8－4＝4
这里用到了配方法,通过非负数找不定方程的定解.
解法2：由解法2整理出a的二次方程a2－12a＋（52＋c2－8c）＝0
∵方程有实根,∴△＝122－4（52＋c2－8c）＝－4（c－4）2≥0
∴唯有c＝4代入已知a,b可求．
解法3：利用代数恒等式：
∵（b－c）2＝（b＋c）2－4bc
∴（b－c)2＝64－4（a2－12a＋52）
＝－4（a－6）2≥0,
∴惟有a＝6（求b,c同上略)
2.a是方程x^2-2008x+1=0的一个根
a^2-2008a+1=0
a^2+1=2008a
a^2-2008a+1=0
a^2-2007a=a-1
所以a^2-2007a+2008/(a^2+1)
=a-1+2008/2008a
=a-1+1/a
=(a^2-a+1)/a
=(2008a-a)/a
=2007a/a
=2007