（2003•肇庆）如图，函数y=px2+qx+r（其中p，q，r为常数）的图象分别与x轴，y轴交于A，B，C三点，D为抛物线的顶点，且∠ACB=90°，OA＞OB．（1）试确定p，q，r的符号；（2）求证：q2-4pr＞4；（3

Question

（2003•肇庆）如图，函数y=px²+qx+r（其中p，q，r为常数）的图象分别与x轴，y轴交于A，B，C三点，D为抛物线的顶点，且∠ACB=90°，OA＞OB．
（1）试确定p，q，r的符号；
（2）求证：q²-4pr＞4；
（3）D点与经过A，B，C三点的圆的位置关系如何？请证明你的结论．

Answer 1

（1）设A点坐标为（x₁，0）B点坐标为（x₂，0）
由于C点在y轴负半轴，
因此r＜0；
因为∠ACB=90°，根据射影定理有：OC²=OA•OB，
即r²=-x₁•x₂=-(r)/(p)，
由于r²＞0，r＜0，
因此p＞0，且r=-p．
∵OA＞OB，
因此抛物线的对称轴在y轴左侧，
因此-(q)/(2p)＜0，p＞0，
因此q＞0．
因此p、q均为正数，r为负数．

（2）证明：由于D点在C点下方，
因此(4pr−q2)/(4p)＜r…①．
由于r＜0，①式两边同乘以r，得(4pr−q2)/(4(r)/(p))＞r²…②，
在（1）中得：r=-p，r²=-(r)/(p)=1
因此②式可写成(4pr−q2)/(−4)＞1，即q²-4qr＞4．

（3）点D在以AB为直径的圆外．
证明：设以AB为直径的圆的半径为R，
则有R=(1)/(2)（OA+OB）
=(1)/(2)（-x₁+x₂）
=(1)/(2)√((x1+x2)2−4x1x2)
=(1)/(2)√((q2−4pr)/(p2))=(2√(q2−4pr))/(4p)
而D到x轴的距离h为

作业帮用户 2017-10-02

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