（2013•许昌三模）如图，多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC＝3，AD＝DE＝2，G为AD的中点．（1）求证；AC⊥CE；（2）在线段CE上找一点F，使得BF∥平面ACD，并给予证明；（3）求

Question

（2013•许昌三模）如图，多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC＝√(3)，AD＝DE＝2，G为AD的中点．
（1）求证；AC⊥CE；
（2）在线段CE上找一点F，使得BF∥平面ACD，并给予证明；
（3）求三棱锥V_G-BCE的体积．

Answer 1

（1）证明：∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥AC，
AC＝√(3)，CD＝1，AD＝2，∴AD²=AC²+CD²，∴AC⊥CD．
∴CD∩DE=D，∴AC⊥平面CDE．
∴AC⊥CE．
（2）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，
设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，
连接FH，则FH

∥

.

.

(1)/(2)ED，∴FH

∥

.

.

AB，
∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，
由BF⊄平面ACD内，AH⊂平面ACD，∴BF∥平面ACD；
（3）由ED⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，
在平面ACD内作CP⊥AD垂足为P，
∵平面ABED∩平面ACD=AD，∴CP⊥平面ABED，CP为三棱锥V_C-BGE的高．
由VG−BCE＝VC−BGE＝(1)/(3)S△BGE•CP，
∵S梯形ABED＝(AD(AB+ED))/(2)=(2×(1+2))/(2)＝3，S△ABG＝(1)/(2)×1×1＝(1)/(2)，S△DGE＝(1)/(2)×1×2＝1．
∴S△BGE＝S梯形ABED−S△ABG−S△DGE＝3−(1)/(2)−1＝(3)/(2)，
∵(1)/(2)AC•CD＝(1)/(2)AD•CP，CP＝(√(3))/(2)．
∴三棱锥V_G-BCE的体积VG−BCE＝VC−BGE＝(1)/(3)S△BGE•CP＝(1)/(3)×

作业帮用户 2017-10-02

问题解析

（1）利用线面垂直的性质定理即可得出DE⊥AC；根据勾股定理的逆定理可得AC⊥CD，利用线面垂直的判定定理可得AC⊥平面CDE，
（2）利用线面垂直的性质定理可得AB∥ED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，利用三角形的中位线定理可得FH

∥

.

(1)/(2)ED，又AB

∥

.

(1)/(2)ED，于是可得四边形ABFH为平行四边形，可得BF∥AH，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（3）作CP⊥AD垂足为P，利用面面垂直的性质定理可得CP⊥平面ABED，再利用VG−BCE＝VC−BGE＝(1)/(3)S△BGE•CP，即可得出体积．

名师点评

本题考点：

直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

考点点评：

熟练掌握线面垂直的判定和性质定理、勾股定理的逆定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式和“等积变形”是解题的关键．

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