已知函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）．（Ⅰ）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，

Question

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（Ⅰ）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=（x-a）²+5-a²（a＞1），∴f（x）在[1，a]上是减函数，
又定义域和值域均为[1，a]，∴

f(1)＝a

f(a)＝1

，即

1−2a+5＝a

a2−2a2+5＝1

，解得 a=2．
（Ⅱ）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，∴a≥2，
又x=a∈[2，a+1]，且，（a+1）-a≤a-1
∴f（x）_max=f（1）=6-2a，f（x）_min=f（a）=5-a²．
∵对任意的x₁，x₂∈[a，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
∴f（x）_max-f（x）_min≤4，∴2≤a≤3．