对于函数y=f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0f（x0）=1成立，则称函数f（x）具有性质P．（1）下列函数中具有性质P的有．①f（x）=-2x+22；②f（x）=sinx（x∈[0，2π]）；③f（x）=x+1x，

Question

对于函数y=f（x），若在其定义域内存在x₀，使得x₀f（x₀）=1成立，则称函数f（x）具有性质P．
（1）下列函数中具有性质P的有______．
①f（x）=-2x+2√(2)；
②f（x）=sinx（x∈[0，2π]）；
③f（x）=x+(1)/(x)，（x∈（0，+∞））；
④f（x）=ln（x+1）．
（2）若函数f（x）=alnx具有性质P，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

（1）在 x≠0时，f（x）=(1)/(x)有解，即函数具有性质P，
①令-2x+2√(2)=(1)/(x)，即-2x2+2√(2)x-1=0，
∵△=8-8=0，故方程有一个非0实根，故f（x）=-2x+2√(2)具有性质P；
②f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的图象与y=(1)/(x)有交点，
故sinx=(1)/(x)有解，故f（x）=sinx（x∈[0，2π]）具有性质P；
③令x+(1)/(x)=(1)/(x)，此方程无解，
故f（x）=x+(1)/(x)，（x∈（0，+∞））不具有性质P；
④f（x）=ln（x+1）的图象与y=(1)/(x)有交点，
故ln（x+1）=(1)/(x)有解，故f（x）=ln（x+1）具有性质P；
综上所述，具有性质P的函数有：①②④，
（2）f（x）=alnx具有性质P，显然a≠0，方程 xlnx=(1)/(a)有根，
∵g（x）=xlnx的值域为[-(1)/(e)，+∞），
∴(1)/(a)≥-(1)/(e)，
解之可得：a＞0或 a≤-e．
故答案为：①②④；（2）a＞0或a≤-e