设f(x)在[0,π]上连续,(0,π)内可导,证明存在ξ∈(0,π),使得f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0

Question

设f(x)在[0,π]上连续,(0,π)内可导,证明存在ξ∈(0,π),使得f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0

Answer 1

做辅助函数F(x)=f(x)sinx
则F(x)在[0,π]上连续,(0,π)内可导,且F(0)=F(π)=0
由洛尔定理知存在ξ∈(0,π),使得F'(ξ)=0
由F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx
可知f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0
不明白可以追问,如果有帮助,请选为满意回答!