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(2013•天津)已知函数f(x)=x2lnx.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s).(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当t>

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(2013•天津)已知函数f(x)=x2lnx.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s).
(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当t>e2时,有
2
5
lng(t)
lnt
1
2
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由题意可知函数的定义域为(0,+∞),
求导数可得f′(x)=2xlnx+x2
1
x
=2xlnx+x=x(2lnx+1),
令f′(x)=0,可解得x=
1
e

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
 x (0,
1
e
) 
 
1
e
( 
1
e
,+∞)
 f′(x) -  0 +
 f(x) 单调递减 极小值  单调递增 
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,
1
e
),单调递增区间为( 
1
e
,+∞)
(Ⅱ)证明:当0<x≤1时,f(x)≤0,设t>0,令h(x)=f(x)-t,x∈[1,+∞),
由(Ⅰ)可知,h(x)在区间(1,+∞)单调递增,h(1)=-t<0,h(et)=e2tlnet-t=t(e2t-1)>0,
故存在唯一的s∈(1,+∞),使得t=f(s)成立;
(Ⅲ)证明:因为s=g(t),由(Ⅱ)知,t=f(s),且s>1,
从而
作业帮用户 2017-10-07 举报
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