（2013•天津）已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞

Question

（2013•天津）已知函数f（x）=x²lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e²时，有(2)/(5)＜(lng(t))/(lnt)＜(1)/(2)．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可知函数的定义域为（0，+∞），
求导数可得f′（x）=2xlnx+x²•(1)/(x)=2xlnx+x=x（2lnx+1），
令f′（x）=0，可解得x=(1)/(√(e))，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，(1)/(√(e))）	(1)/(√(e))	（ (1)/(√(e))，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

所以函数f（x）的单调递减区间为（0，(1)/(√(e))），单调递增区间为（ (1)/(√(e))，+∞）
（Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）-t，x∈[1，+∞），
由（Ⅰ）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=-t＜0，h（e^t）=e^2tlne^t-t=t（e^2t-1）＞0，
故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；
（Ⅲ）证明：因为s=g（t），由（Ⅱ）知，t=f（s），且s＞1，
从而

作业帮用户 2017-10-07 举报