若x→0时limf(a+x)-f(a-x)/x存在且不为0,则f(x)在x=a处是否可导f(a)的导数为

Question

若x→0时lim【f(a+x)-f(a-x)】/x存在且不为0,则f(x)在x=a处是否可导 f(a)的导数为

Answer 1

　　未必可导.例如函数
　f(x) = x,x0,
在 x=0 不可导.但对 x=a=0,有
　lim(x→0+)[f(a+x)-f(a-x)]/x
　　= lim(x→0+)[f(x)-f(-x)]/x
　　= lim(x→0+)[2x-(-x)]/x = 3,
　lim(x→0-)[f(a+x)-f(a-x)]/x
　　= lim(x→0-)[f(x)-f(-x)]/x
　　= lim(x→0-)[x-(-2x)]/x = 3,
即
　　lim(x→0)[f(a+x)-f(a-x)]/x = 3 ≠ 0.