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一点的导数存在,为什么不能说该点邻域内一阶可导
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一点的导数存在,为什么不能说该点邻域内一阶可导
▼优质解答
答案和解析
邻域当然不一定可导,注意可导和连续都是逐点定义的.
在某一点可导只能说明它在这点处连续且左导等于右导,其他什么都不能说明,比如它在这个点邻域内的单调性,导数的左右极限是否存在等都是有影响的
举例
设狄利克雷函数F（x）当x为有理数时,F（x）为1,x为无理数时函数为0.现在构造带有函数f（x）=x²F（x）这个函数在0这一点是可导的,但是在0的任意邻域却不可导.
再举个例子
f（x）=x²|cos兀/x| x≠0时；f（x）=0,x=0时.这个函数也是在0这一点可导邻域却不可导.
在某一点可导只能说明它在这点处连续且左导等于右导,其他什么都不能说明,比如它在这个点邻域内的单调性,导数的左右极限是否存在等都是有影响的
举例
设狄利克雷函数F（x）当x为有理数时,F（x）为1,x为无理数时函数为0.现在构造带有函数f（x）=x²F（x）这个函数在0这一点是可导的,但是在0的任意邻域却不可导.
再举个例子
f（x）=x²|cos兀/x| x≠0时；f（x）=0,x=0时.这个函数也是在0这一点可导邻域却不可导.
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