光线沿直线y=2x+1的方向射在直线y=x上.求反射后的光线所在的直线方程.

Question

光线沿直线y=2x+1的方向射在直线y=x上.求反射后的光线所在的直线方程.

Answer 1

思路解析： 根据光学知识，入射角等于反射角，可以根据夹角公式求解，也可以利用对称来求解 后一种更方便.

解法一： 设P（x，y）是反射后的光线所在直线上任意一点，由光学知识可知P关于y=x的对称点P′（x ₀ ，y ₀ ）在直线y=2x+1上，∴y ₀ =2x ₀ +1.

而 所以反射光线所在的直线方程为x=2y+1，即x-2y-1=0.

事实上，只需将y=2x+1中的x，y对调，便可得出此曲线关于直线y=x的对称曲线的方程.

解法二： 解方程组 得交点P（-1，-1）.

在直线y=2x+1上任取一点A（1，3），A点关于直线y=x的对称点B（3，1）必在反射光线所在的直线上，

∴反射光线的方程为PB： = ，即x-2y-1=0.

解法三： 由方程组 得交点P（-1，-1）.过P点且垂直直线y=x的直线方程为x+y+2=0.

由光学知识可知入射线与反射线关于直线x+y+2=0对称.

在y=2x+1上任取一点C（0，1），关于直线x+y+2=0的对称点为D（-3，-2）.

直线PD： = ，即x-2y-1=0为反射光线所在直线的方程.

解法四： 解方程组 得交点P（-1，-1）.

设直线y=x到y=2x+1的角为α，则tanα= = .

设反射光线所在直线的斜率为k 则 = ，则k= ，则反射光线所在直线的方程为y+1= （x+1），即x-2y-1=0.

解法五： 在y=2x+1上任取两点A（0，1）、B（-1，-1），它们关于y=x的对称点为A′（1，0）、B′（-1，-1）.A′B′所在的直线方程为 = ，即x-2y-1=0为反射光线所在的直线方程.