设y=f(x)及y=g(x)在实轴上有定义且连续.证明：若f(x)与g(x)在有理数集合中处处相等,则它们在整个实数轴上处处相等.

Question

设y=f(x)及y=g(x)在实轴上有定义且连续.证明：若f(x)与g(x)在有理数集合中处处相等,则它们在整个实数轴上处处相等.

Answer 1

对于任意,x属于R,存在一列有理数rn趋于x.
f与g在有理数点相等,故
lim(n->infinite)f(rn)=lim(n->infinite)g(rn)
由函数连续性：
f(lim(n->infinte)rn)=lim(n->infinite)f(rn)
g(lim(n->infinite)rn)=lim(n->infinite)g(rn)
f(x)=g(x)
因此f与g在实轴上处处相等.