金属硬杆轨道“ABCDEFGHIP”固定置于竖直平面内，CDE、FGH两半圆形轨道半径分别为a、2a，足够长的PI、AB直轨与水平均成θ=37°，一质量为m的小环套在AB杆上，环与BC、EF、HI水平直杆轨道间的动

Question

金属硬杆轨道“ABCDEFGHIP”固定置于竖直平面内，CDE、FGH两半圆形轨道半径分别为a、2a，足够长的PI、AB直轨与水平均成θ=37°，一质量为m的小环套在AB杆上，环与BC、EF、HI水平直杆轨道间的动摩擦因数均为μ=0.1，其中BC=a、EF=2a、HI=3a，其他轨道均光滑，轨道拐弯连接处也光滑，环通过连接处时动能损失忽略不计，现环在AB杆上从距B点6a处的地方无初速释放．已知sin37°=0.6，试求：
（1）从释放到第一次到达B所用的时间；
（2）第一次过小圆道轨最高点D时，环对轨道的作用力；
（3）小环经过D的次数及环最终停在什么位置？

Answer 1

（1）由牛顿第二定律得：mgsin37°=ma₁，
由位移公式得：xAB＝(1)/(2)a1t2，
代入数据解得：t＝√(2a)；
（2）从A→D过程，由动能定理得：
mg(xABsin370−a)−μmg•xBC＝(1)/(2)m

v

2 D

，
解得：vD＝√(5ga)，
第一次在D处，假设轨道对环的力向下，
由牛顿第二定律得：mg+FN＝m(v2D)/(a)，
解得：F_N=4mg，
所以环对轨道的作用力是竖直向上的，大小为4mg；
（3）假设小环第n次向左过D时（n为大于等于1的整数），速度设为v_Dzn，
由动能定理得：mg(6asinθ−a)−2(n−1)(3a+2a+a)mgμ−amgμ＝(1)/(2)m

v

2 Dzn

，
解得：mga(3.7−1.2n)＝(1)/(2)m

v

2 Dzn

＞0，
n＜(37)/(12)，所以最多向左第3次通过D点，
假设小环第k次向左过大圆轨道最高点G时，速度设为v_Gzk，
由动能定理得：mg(6asinθ−2a)−2(k−1)(3a+2a+a)mgμ−(2a+a)gμ＝(1)/(2)m

v

2 Gzk

，
解得：mga(2.5−1.2k)＝(1)/(2)m

v

2 Gzk

＞0，k＜(25)/(12)，所以最多向左第2次通过G点，
如果环能第2次向右过G点，说明最终环在FE之间，所以要证明是否能第2次能向右过G点，
设第2次向右过G点时速度为v_Gy2，由动能定理得：
mg(6a−2a)−3(3a+2a+a)mgμ−3amgμ＝(1)/(2)m

v

2 Gy2

，
即：−0.5mga＝(1)/(2)m

v

2 Gy2

，
显然是动能不可能为负的，说明不会第2次向右过G点，也就不可能出现第3次向左过D点．
所以，过D点的次数为3次（2次向左1次向右），当环第2次向左过G点后，环只能在G的左侧做往复运动，
最后停在IH轨道上的某处设环在“IH”直轨上的运动路程为x，
0-(1)/(2)mv_GZ2²=mg•2a-μmgx，0-mga（2.5-1.2×2）=2mga-mgμ．x，
解得：x=21a，是3a的7倍，所以小环最终停在I处．
答：（1）从释放到第一次到达B所用的时间为√(2a)；
（2）第一次过小圆道轨最高点D时，环对轨道的作用力大小为4mg，方向竖直向上；
（3）小环7次经过D点，环最终停在I处．