已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0）时，f(x)＝tx−12x3（t为常数）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当t∈[2，6]时，求f（x）在[-2，0]上的最小值，及取得最小值时的x，

Question

已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0）时，f(x)＝tx−(1)/(2)x3（t为常数）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当t∈[2，6]时，求f（x）在[-2，0]上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f（x）在[0，2]上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当t≥9时，证明：函数y=f（x）的图象上至少有一个点落在直线y=14上．

Answer 1

（1）x∈（0，2]时，-x∈[-2，0），则f(−x)＝t(−x)−(1)/(2)(−x)3＝−tx+(1)/(2)x3，
∵函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，即f（-x）=-f（x），
∴−f(x)＝−tx+(1)/(2)x3，即f(x)＝tx−(1)/(2)x3，又可知f（0）=0，
∴函数f（x）的解析式为f(x)＝tx−(1)/(2)x3，x∈[-2，2]；
（2）f(x)＝x(t−(1)/(2)x2)，∵t∈[2，6]，x∈[-2，0]，∴t−(1)/(2)x2≥0，f（x）＜0
∵[f(x)]2＝x2(t−(1)/(2)x2)2≤((x2+t−(1)/(2)x2+t−(1)/(2)x2)/(3))3＝(8t3)/(27)，∴x2＝t−(1)/(2)x2，
即x2＝(2t)/(3)，x＝−(√(6t))/(3)(−(√(6t))/(3)∈[−2，0])时，fmin＝−

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作业帮用户 2017-10-23

问题解析

（1）设x∈（0，2]⇒-x∈[-2，0）⇒f(−x)＝−tx+(1)/(2)x3，由f（x）为奇函数可得f（-x）=-f（x），代入可求f（x）x∈（0，2]；
由奇函数的性质可知f（0）=0，从而可得f（x） x∈[-2，2]
（2）由知f(x)＝x(t−(1)/(2)x2)＜0，x∈[-2，0]，t∈[2，6]
利用平均值不等式可得，f2(x)＝x2(t−(x2)/(2))(t−(x2)/(2))≤((x2+t−(x2)/(2)+t−(x2)/(2))3)/(3)＝(8t3)/(27)（当x 2＝ (2t)/(3)时取等号）
（3）利用单调性的定义（或导数法）判断函数在[-2，2]上单调性，从而确定函数的值域，然后证明14在值域内即可

名师点评

本题考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质．

考点点评：

本题综合考查函数的解析式的求解、利用均值不等式求函数的最值、及利用定义或导数法判断函数的单调性，在利用均值不等式求最值时，要注意验证各项的符号及等号成立的条件．

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