（2008•武昌区模拟）数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，对于n∈N*，总有an，sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1an•an+2（n∈N*），求证：数列{bn}的前n项和Tn＜34．

Question

（2008•武昌区模拟）数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，对于n∈N^*，总有a_n，s_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=(1)/(an•an+2)（n∈N^*），求证：数列{b_n}的前n项和T_n＜(3)/(4)．

Answer 1

（1）由已知得2Sn＝an+an2，①
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1+an−12，②
①-②，得2a_n=a_n-a_n-1+an2−an−12，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=1，
又n=1时，2a1＝a1+a12，解得a₁=1，
∴{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a_n=n．
（2）证明：∵b_n=(1)/(n(n+2))=(1)/(2)((1)/(n)−(1)/(n+2))，
∴Tn＝(1)/(2)(1−(1)/(3)+(1)/(2)−(1)/(4)+…+(1)/(n)−(1)/(n+2))
=(1)/(2)(1+(1)/(2)−(1)/(n+1)−(1)/(n+2))
=(3)/(4)−(1)/(2)((1)/(n+1)+(1)/(n+2))＜(3)/(4)．
∴数列{b_n}的前n项和T_n＜(3)/(4)．