各项均为正数的数列{bn}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有2Sn=bn（bn+1）．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）如果等比数列{an}共有m（m≥2，m∈N*）项，其首项与公比均为2，在数列{an}的每

Question

各项均为正数的数列{b_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，都有2S_n=b_n（b_n+1）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）如果等比数列{a_n}共有m（m≥2，m∈N^*）项，其首项与公比均为2，在数列{a_n}的每相邻两项a_i与a_i+1之间插入i个（-1）ⁱb_i（i∈N^*）后，得到一个新的数列{c_n}．求数列{c_n}中所有项的和；
（3）如果存在n∈N^*，使不等式 b_n+(1)/(bn)≤(n+1)λ≤bn+1+(1)/(bn+1)成立，求实数λ的范围．

Answer 1

（1）当n=1时，由2S₁=b₁（b₁+1）得b₁=1，
当n≥2时，由2S_n=b_n（b_n+1）及2S_n-1=b_n-1（b_n-1+1），
可得2b_n=2S_n-2S_n-1=b_n（b_n+1）-b_n-1（b_n-1+1），
即（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1）=b_n+b_n-1，
∵数列{b_n}的各项均为正数，∴b_n-b_n-1=1，
∴数列{b_n}是首相与公差均为1等差数列，
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=n；
（2）通过题意，易得数列{a_n}的通项公式为an=2n，
当m=2k-1（k≥2，k∈N^*）时，
数列{c_n}共有（2k-1）+1+2+…+（2k-2）=k（2k-1）项，
其所有项的和为Sk(2k-1)=(2+22+…+22k-1)+[-1+22-32+42-…-(2k-3)2+(2k-2)2]
=2（2^2k-1-1）+[3+7+…+（4k-5）]
=2^2k-2+（2k-1）（k-1）
=(1)/(2)m(m-1)+2m+1-2；
当m=2k（k∈N^*）时，数列{c_n}共有2k+1+2+…+（2k-1）=k（2k+1）项，
其所有项的和为Sk(2k+1)=Sk(2k-1)+22k-(2k-1)2
=2^2k-2+（2k-1）（k-1）+2^2k-（2k-1）²
=2^2k+1-k（2k-1）-2=-(1)/(2)m(m-1)+2m+1-2；
（3）∵bn+(1)/(bn)≤(n+1)λ≤bn+1+(1)/(bn+1)，
∴(n+(1)/(n))/(n+1)≤λ≤1+(1)/((n+1)2)，n=1，2，3，…
记An=(n+(1)/(n))/(n+1)，Bn=1+(1)/((n+1)2)，n=1，2，3，…
由An-An+1=(2-n)/(n(n+1)(n+2))，Bn-Bn+1=(2n+3)/((n+1)2(n+2)2)，
得A₁>A₂=A₃，A₃<A₄<A₅<…，B₁>B₂>B₃>…
∴实数λ的范围为[A₂，B₁]，即[(5)/(6)，(5)/(4)]．