设有n元实二次型，f（x1，x2，…，xn）=（x1+a1x2）2+（x2+a2x3）2+…+（xn-1+an-1xn）2+（xn+anx1）2，其中ai（i=1，2，…，n）为实数．试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f（x1，x2，…，xn

Question

设有n元实二次型，f（x₁，x₂，…，x_n）=（x₁+a₁x₂）²+（x₂+a₂x₃）²+…+（x_n-1+a_n-1x_n）²+（x_n+a_nx₁）²，其中a_i（i=1，2，…，n）为实数．试问：当a₁，a₂，…，a_n满足何种条件时，二次型f（x₁，x₂，…，x_n）为正定二次型．

Answer 1

由题设条件可得，
对于任意的x₁，…，x_n，有：
f（x₁，x₂，…，x_n）≥0，其中等号当且仅当

x1+a1x2＝0

x2+a2x3＝0

…

xn−1+an−1xn＝0

xn+anx1＝0

 …①时成立．
方程组①有非零解的充要条件是其系数矩阵的行列式不为零，即：

.

1	a1	0	…	0	0
0	1	a2	…	0	0
⋮	⋮	⋮		⋮	⋮
0	0	0	…	1	an−1
an	0	0	…	0	1

.

=1+（-1）ⁿ⁺¹a₁a₂…a_n≠0．
所以，当 1+（-1）ⁿ⁺¹a₁a₂…a_n≠0 时，
对于任意不全为零的x₁，…，x_n，有：f（x₁，x₂，…，x_n）＞0，
即当1+（-1）ⁿ⁺¹a₁a₂…a_n≠0 时，二次型 f（x₁，x₂，…，x_n） 为正定二次型．