距离我们为L处有一恒星，其质量为M，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为T，摆动范围的最大张角为△θ．假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给

Question

距离我们为 L 处有一恒星，其质量为 M，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为 T，摆动范围的最大张角为△θ．假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程．
若 L=10 光年，T=10 年，△θ=3 毫角秒，M=Ms （Ms为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径r各为多少？分别用太阳质量 Ms 和国际单位 AU （平均日地距离）作为单位，只保留一位有效数字．已知 1 毫角秒=角秒，1角秒=度，1AU=1.5×10⁸km，光速 c=3.0×10⁵km/s．

Answer 1

设该恒星中心到恒星-行星系统质心的距离为d，根据题意有：
d＝(L△θ)/(2)      （1）
将有关数据代入（1）式，得d=5×10^-3AU，又根据质心的定义有：
r−d＝(Md)/(m)   （2）
式中r为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离，根据万有引力定律有：
G(Mm)/(r2)＝Md((2π)/(T))2    （3）
由（2）（3）两式得，(m)/((1+(M)/(m))2)＝(4π2)/(G)(d3)/(T2)      （4）
利用（1）式可得：(m)/((1+(M)/(m))2)＝((L△θ)3π2)/(2GT2)．（5）
（5）式即为行星质量m所满足的方程．
可以把（5）式改写成下面的形式，(((m)/(M))3)/((1+(m)/(M))2)＝((L△θ)2π2)/(2GMT2)
因地球绕太阳做圆周运动，根据万有引力定律可得
((1AU)3)/((1y)2)＝(GMs)/(4π2)   （7）
注意到M=M_s，由（6）和（7）式并代入数据得，(((m)/(Ms))3)/((1+(m)/(Ms))2)＝8.6×10−10    （8）
由（8）式可知，(m)/(Ms)＜＜1．
由近似计算可得，m≈1×10^-3M_s     （9）
由于

作业帮用户 2017-09-20