记f（n）=（3n+2）（C22+C23+C24+…+C2n）（n≥2，n∈N*）．（1）求f（2），f（3），f（4）的值；（2）当n≥2，n∈N*时，试猜想所有f（n）的最大公约数，并证明．

Question

记f（n）=（3n+2）（C

2

2

+C

2

3

+C

2

4

+…+C

2

n

）（n≥2，n∈N^*）．
（1）求f（2），f（3），f（4）的值；
（2）当n≥2，n∈N^*时，试猜想所有f（n）的最大公约数，并证明．

Answer 1

（1）因为f（n）=（3n+2）（C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²）=（3n+2）C_n+1³，
所以f（2）=8，f（3）=44，f（4）=140．
（2）由（1）中结论可猜想所有f（n）的最大公约数为4．
下面用数学归纳法证明所有的f（n）都能被4整除即可．
（ⅰ）当n=2时，f（2）=8能被4整除，结论成立；                  
（ⅱ）假设n=k时，结论成立，即f（k）=（3k+2）C_k+1³能被4整除，
则当n=k+1时，f（k+1）=（3k+5）C_k+2³=（3k+2）C_k+1³+3C_k+2³=（3k+2）（C_k+1³+C_k+1²）+（k+2）C_k+1²，
=（3k+2）C_k+1³+（3k+2）C_k+1²+（k+2）C_k+1²，
=（3k+2）C_k+1³+4（k+1）C_k+1²，
此式也能被4整除，即n=k+1时结论也成立．
综上所述，所有f（n）的最大公约数为4．