对于数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}是前n项和，且Sn+1-（n+1）=Sn+an+n，a1+b1=2，bn+1=3bn+2，n∈N*．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令cn=2(an+n)n(bn+1)，求数列{cn}的前n项和Tn．

Question

对于数列{a_n}，{b_n}，S_n为数列{a_n}是前n项和，且S_n+1-（n+1）=S_n+a_n+n，a₁+b₁=2，b_n+1=3b_n+2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=(2(an+n))/(n(bn+1))，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵S_n+1-（n+1）=S_n+a_n+n，
∴a_n+1-a_n=2n+1．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（2n-1）+（2n-3）+…+3+1
=(n(1+2n-1))/(2)=n²．
由a₁+b₁=2，∴b₁=1．
∵b_n+1=3b_n+2，n∈N^*．
∴b_n+1+1=3（b_n+1）．
∴数列{b_n+1}是等比数列，公比为3，首项为2．
∴b_n+1=2×3^n-1，解得b_n=2×3^n-1-1．．
（2）由（1）可得：c_n=(2(an+n))/(n(bn+1))=(n+1)/(3n-1)．
∴T_n=2+(3)/(3)+(4)/(32)+…+(n+1)/(3n-1)，
(1)/(3)Tn=(2)/(3)+(3)/(32)+…+(n)/(3n-1)+(n+1)/(3n)，
相减可得：(2)/(3)Tn=2+(1)/(3)+(1)/(32)+…+(1)/(3n-1)-(n+1)/(3n)=1+(1-(1)/(3n))/(1-(1)/(3))-(n+1)/(3n)，
∴T_n=(15)/(4)-(2n+5)/(4×3n-1)．