如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5m，AC=12m．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1m/s；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2m/s．运动时间为ts．（1）求△ABC的周长和面积；（2）当t为何值时

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5m，AC=12m．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1m/s；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2m/s．运动时间为t s．
（1）求△ABC的周长和面积；
（2）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（3）当t为何值时，△AMN与△ABC相似？
（4）在运动的过程中，会不会出现直线MN既平分△ABC的面积又平分△ABC的周长的情况？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵∠C=90°，BC=5m，AC=12m，
∴AB²=BC²+AC²=169，
∴AB=13m，
∴△ABC的周长是：5+12+13=30m，
面积是：(1)/(2)×5×12=30m²；

（2）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
∴AM=12-t，AN=2t
∵∠AMN=∠ANM
∴AM=AN，从而12-t=2t
解得：t=4 秒，
∴当t为4时，∠AMN=∠ANM．

（3）分两种情况讨论：
①如图1，△AMN∽△ABC，
则有(AM)/(AB)=(AN)/(AC)，即(12−t)/(13)=(2t)/(12)，
解得：t=(72)/(19)＜6.5，符合题意；
如图2，△ANM∽△ACB，
则(AN)/(AB)=(AM)/(AC)，即(12−t)/(12)=(2t)/(13)，
解得：t=(156)/(37)＜6.5，符合题意；
综上所述，当t=(72)/(19)和t=(156)/(37)时，△AMN与△ABC相似；

（4）假设直线MN能同时平分△ABC周长和面积，则AN=AM=15，即：
2t+12-t=15，
解得：t=3；
此时AM=9，AN=6，
如图3：
作NP⊥AC，垂足为P，
则△ANP∽△ABC，(AN)/(AB)=(NP)/(BC)，即：(6)/(13)=(NP)/(5)，
解得：t=NP=(30)/(13)＜6.5，符合题意，
∵此时△ANP的面积为(1)/(2)×9×(30)/(13)=(135)/(13)＜15，不是△ABC面积的一半，
∴不能．