（2014•浦东新区二模）如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=π4（其中点P、Q分别在边BC

Question

（2014•浦东新区二模）如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=(π)/(4)（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．
（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；
（2）求S的最大值，并求此时θ的值．

Answer 1

（1）S=S_ABCD-S_△ABP-S_△ADQ…2分
=100-50tanθ-50tan((π)/(4)-θ)…4分
=100-50(tanθ+(1-tanθ)/(1+tanθ))，(0＜θ＜(π)/(4))…6分
（2）令t=1+tanθ，t∈（1，2）…8分
S=100-50[(1+(t-1)2)/(t)]=100-50(t+(2)/(t)-2)=200-50(t+(2)/(t))…10分
∵t+(2)/(t)≥2√(t•(2)/(t))=2√(2)，（当且仅当t=(2)/(t)时，即t=√(2)∈(1，2)，等号成立）…12分
∴当t=√(2)时，搜索区域面积S的最大值为200-100√(2)（平方海里）
此时，θ=arctan(√(2)-1)…14分．