如图，矩形纸片ABCD，AD=BC=3，AB=CD=9，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK，则对△MNK的叙述正确的个数是：（）①△MNK一定是等腰三

Question

如图，矩形纸片ABCD，AD=BC=3，AB=CD=9，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK，则对△MNK的叙述正确的个数是：（　　）
①△MNK一定是等腰三角形；
②△MNK可能是钝角三角形；
③△MNK有最小面积且等于4.5；
④△MNK有最大面积且等于7.5．

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

①如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∴KN=KM，
∴△MNK是等腰三角形，故此选项正确；
②如图3，△MNK可是钝角三角形，故此选项正确；
③如图1，当KN=AD=3时，△MNK最小面积为：(1)/(2)×3×3=4.5，故此选项正确；
④分两种情况：
情况一：如图2，将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．
设MK=MD=x，则AM=9-x，
在Rt△DAM中，由勾股定理，得x²=（9-x）²+3²，
解得，x=5．
即MD=ND=5，
故S_△MNK=S_梯形AMND-S_△ADM=9×3×(1)/(2)-4×3×(1)/(2)=7.5．
情况二：如图3，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．
设MK=AK=CK=x，则DK=9-x，
同理可得x²=（9-x）²+3²，
解得：x=5，
即MK=NK=5．
故S_△MNK=S_△DAC-S_△DAK=(1)/(2)×9×3-(1)/(2)×4×3=7.5，故此选项正确；
故正确的有4个．
故选：D．