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椭圆的方程为X^2/18+Y^2/9=1.过点P(0,1)的动直线l与该椭圆交于A,B两点,求证：以AB为直径的圆恒过定点M（0,-3）.
题目详情
椭圆的方程为X^2/18+Y^2/9=1.过点P(0,1)的动直线l与该椭圆交于A,B两点,求证：以AB为直径的圆恒过定点M（0,-3）.
▼优质解答
答案和解析
设过P(0,1)的直线为y-1=kx,即y=kx+1,并设AB的中点为Q
则A、B的坐标满足方程组
【x^2/18+y^2/9=1】∩【y=kx+1】
即(2k^2+1)x^2+4kx-16=0,
此时,AB的中点Q（即以AB为直径的圆的圆心）的横坐标为
x(Q)=(x(A)+x(B))/2=-(2k)/(2k^2+1)；
所以,AB的中点Q（即圆心）的纵坐标为
y(Q)=kx+1=1/(2k^2+1).
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则A、B的坐标满足方程组
【x^2/18+y^2/9=1】∩【y=kx+1】
即(2k^2+1)x^2+4kx-16=0,
此时,AB的中点Q（即以AB为直径的圆的圆心）的横坐标为
x(Q)=(x(A)+x(B))/2=-(2k)/(2k^2+1)；
所以,AB的中点Q（即圆心）的纵坐标为
y(Q)=kx+1=1/(2k^2+1).
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